Si comprobamos el diccionario de la R.A.E podemos comprobar que la frase: «A la chita callando»

1. loc. adv. Calladamente, con disimulo.

Resumen: Si decimos hacer una cosa «a la chita callando» quiere decir hacer algo con mucho disimulo o sigilo y en completo secreto, se dice que el origen de la frase viene del juego de las chitas

¿En que frases podemos usar la expresión

• A la chita callando te estar acercando mucho a mí
• A la chita callando he aprobado el examen de conducir
• Fernando a la chita callando se ha convertido en el mejor de Los Serrano